Учебный центр факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова

Вы здесь

Эффективные технологии и методы решения экзаменационных задач повышенной сложности по математике

Материал данного учебного курса составлен на основе глубокого и тщательного анализа условий, схем, приемов, методов и технологий решения экзаменационных задач (ЕГЭ, олимпиады, вступительные эказмены) повышенной сложности по математике (алгебре и геометрии) и дает четкое представление о характере и сложности экзаменационных заданий, основных идеях и подходах к их решению.

Программа курса

 
Темы Содержание
Раздел 1. Эффективные нестандартные методы решения задач по алгебре
Тема 1.1.
Задачи на целые, рациональные и иррациональные числа. Задачи на сравнение.
Целые числа. Делимость и остатки. Уравнения в целых числах. Смешанные задачи на целые числа. Рациональные и иррациональные числа. Сравнение чисел.
Тема 1.2.
Эффективные методы решения иррациональных уравнений и неравенств.
Эквивалентные преобразования при избавлении от радикалов, область определения и область значений, перебор вариантов и отбор решений в задачах с радикалами различных степеней, иррациональные уравнения и неравенства, поиск оптимального пути разрешения иррационального выражения.
Тема 1.3.
Эффективные методы решения задач с модулями. Модифицированный метод интервалов (метод замены множителей, метод рационализации).
Основные приемы равносильных преобразований уравнений и неравенств с модулями и функциями различных типов, различные приемы раскрытия модулей, использование геометрического смысла модуля функции. Переход к системам и совокупностям, метод областей, графические иллюстрации и плоские множества.
Модифицированный метод интервалов в неравенствах различных типов, равносильные преобразования уравнений и неравенств, расщепление выражений относительно различных функций, сведение к системам и совокупностям, задачи с параметром и перебор вариантов в уравнениях и неравенствах комбинированных типов.
Тема 1.4.
Комбинированные уравнения и неравенства.
Сведение к уравнениям и неравенствам стандартных типов, системы уравнений и неравенств, эквивалентные преобразования и отбор решений различными способами. Обобщение и систематизация ранее использовавшихся методов, приемов и способов решения различных типов задач.
Тема 1.5.
Тригонометрические неравенства. Обратные тригонометрические функции.
Определения обратных тригонометрических функций, простейшие преобразования выражений, уравнений и неравенств, отбор решений, сведение к уравнениям и неравенствам стандартных типов. Решение тригонометрических неравенств с использованием тригонометрической окружности и целочисленного перебора вариантов, комбинированные задачи с применением комплекса различных методов.
Раздел 2. Методы решения задач повышенной сложности по алгебре
Тема 2.1.
Методы решения нестандартных задач по алгебре
Различные типы текстовых задач: движение, работа, проценты, арифметическая и геометрическая прогрессии, оптимальный выбор и целочисленный перебор, минимальные и максимальные значения. Задачи на делимость чисел, системы и уравнения с целочисленными решениями, отбор корней по смыслу постановки задачи из неравенств и недоопределенных условий.
Тема 2.2.
Исследование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметром.
Теорема о корнях квадратного трехчлена, расположение параболы на координатной оси, поиск специфических условий на корни, теорема Виета, применение вариантов графических иллюстраций, задачи с параметрами и различные способы их решения.
Тема 2.3.
Использование различных свойств функций в задачах с параметрами.
Периодичность, монотонность, четность, непрерывность и ограниченность входящих функций, выделение полных квадратов и составление цепочки сравнений. Оценки на фиксированных множествах, замены переменных, разложение на множители, исследование вспомогательных выражений.
Тема 2.4.
Применение графических иллюстраций в задачах с параметрами.
Плоские множества, эквивалентные преобразования к системам и совокупностям, координатная плоскость и тригонометрическая окружность, расщепление на элементарные функции. Перебор вариантов, замена на функции более простого типа, поиск площадей геометрических фигур.
Тема 2.5.
Использование особенностей условия задач с параметром.
Эквивалентные преобразования, различные приемы разложения на множители, применение комплекса методов решения нестандартных задач, логические выводы. Использование симметрии входящих выражений, необходимые условия единственности решений, существование корней, получение следствий, переформулирование задачи на этапе решения. Стандартные неравенства и тождества, их следствия и приводящие к ним замены переменных, получение ограничений на параметры и переменные.
Раздел 3. Решение планиметрических задач повышенной сложности
Тема 3.1.
Треугольник: свойства и решение задач.
Замечательные точки и линии треугольника, связь различных элементов треугольника с окружностями, формулы решений для различных элементов треугольника, признаки равенства и подобия произвольных треугольников, основные теоремы и свойства произвольных треугольников.
Тема 3.2.
Задачи на использование подобия.
Общие признаки подобия треугольников, эквивалентные переходы от произвольных плоских фигур к треугольникам, теоремы Чевы и Менелая, способы их использования и альтернативного применения.
Тема 3.3.
Окружность: свойства и решение задач.
Связь различных элементов треугольников через общие окружности, равенства углов и пропорциональность отрезков в окружностях, связь различных элементов треугольников через общие окружности, вписанные и описанные окружности в треугольниках. Касательные и секущие к окружности, использование Декартовой системы координат и уравнений окружности, формулы площадей геометрических фигур с применением дуговых элементов, вписанные и описанные окружности, пропорциональность отрезков и хорд, площади сегментов и секторов.
Тема 3.4.
Леммы о площадях и их использование для решения задач.
Различные формулы для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции и других геометрических фигур, разбиение на треугольники, суммирование площадей, общее определение площади фигуры, теоремы о площадях подобных фигур.
Тема 3.5.
Параллелограммы, трапеции и другие четырёхугольники.
Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, их признаки и специфические свойства, комплексные задачи на применение различных теорем и приемов исследования произвольных параллелограммов.
Отдельные теоремы про трапеции различных типов, замечательные линии и числовые характеристики в трапеции, связь стандартных алгебраических выражений и их геометрических интерпретаций в трапеции.
Произвольное задание плоской фигуры, теоремы о вписанных и описанных окружностях, о сумме внутренних и внешних углов.
Тема 3.6.
Задачи на доказательство.
Задачи на доказательство различных соотношений для элементов треугольника, многоугольника и окружности. Задачи на площади.
Тема 4.1.
Прямая и наклонная призма.
Многогранник, n-угольная призма. Прямая призма, правильная призма. Параллелепипед. Объем призмы и параллелепипеда. Наклонная призма. Объем наклонной призмы. Площадь боковой поверхности призмы.
Тема 4.2.
Пирамиды.
n-угольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Объем произвольной пирамиды и произвольной усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды и правильной усеченной пирамиды. Тетраэдр. Произвольные пирамиды.
Тема 4.3.
Цилиндр. Конус. Шар.
Цилиндр. Цилиндр, вписанный в призму и описанный около призмы. Площадь боковой поверхности и объем цилиндра.
Конус. Конус, вписанный в пирамиду и описанный около пирамиды. Площадь боковой поверхности и объем конуса.
Шар, сфера. Шар, вписанный в многогранник и описанный около многогранника. Площадь поверхности сферы, объем шара. Части шара.
Тема 4.4.
Координаты и векторы.
Прямоугольная Декартова система координат. Расстояние между двумя точками в пространстве. Вектор, координаты вектора. Сумма и скалярное произведение двух векторов. Уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов уравнения плоскости.
Тема 4.5.
Комбинации тел.
Способы взаимного расположения геометрических тел в пространстве с учетом наличия общих элементов, теоремы и признаки особых случаев симметрии и наложения, формулы решений для произвольно заданных элементов пространственных фигур.
Цель курса: 
-
Номер курса: 
ВМК-С-921
Тип курса: 
авторский
Длительность: 
72
Цена, руб. (физ.л./юр.л.): 
10800/13500
Предварительная подготовка: 
Не требуется
Краткое описание: 
Материал данного учебного курса составлен на основе глубокого и тщательного анализа условий, схем, приемов, методов и технологий решения экзаменационных задач (ЕГЭ, олимпиады, вступительные эказмены) повышенной сложности по математике (алгебре и геометрии) и дает четкое представление о характере и сложности экзаменационных заданий, основных идеях и подходах к их решению.